الدائرة...

$الدائرة... Title1$

الزاوية
المركزية والزاوية المحيطية:

الزوايا المركزية:
لديك دائرة مركزها م ، كيف يمكنك أن ترسم فيها زاوية يقع رأسها على المركز ؟ كم
زاوية يمكن أن يقع رأسها على المركز .نسمي
أي زاوية مرسومة في الدائرة وراسها يقع على مركز الدائرة وضلعاها نصفا قطرين
فيها باسم الزاوية المركزية مثل الزاوية أ م هـ.

$الدائرة... Fig.03$

إذا
بدأت النقطة أ بالتحرك من أ
¬

هـ
¬

د
¬

جـ
¬

ب
¬

و ثم العودة إلى أ فإنها تكون قد دارت دورة كاملة مقدارها 360 ْ ( 4 قوائم )
إذن مجموع قيم الزوايا المركزية

( المجتمعة حول م ) مهما كان عددها = 360 ْ .

تعتمد قيمة الزاوية المركزية على طول قوسها فكلما كان قوسها كبيراً كلما كانت
أكبر والعكس بالعكس .

الزوايا المحيطية:
جرّب أن ترسم بنفسك زاوية يقع رأسها على محيط الدائرة وضلعاها داخل الدائرة ،
كم زاوية يمكنك أن ترسم مراعياً هذين الشرطين ؟

$الدائرة... Fig.04$

-
نسمي أي زاوية يقع رأسها على محيط الدائرة وضلعاها وتران فيها
( لاحظ أن قطر الدائرة هو وتر فيها يمر بمركزها ) باسم الزاوية
المحيطية .

-
يمكن رسم عدد لا حدود له من الزوايا المحيطية في أية دائرة .

الأوتار

المتقاطعة :

الأهداف:
عزيزي الدارس يتوقع منك بعد دراسة هذا الموضوع أن تكون قادراً على التعرف على
الأوتار المتقاطعة واستنتاج العلاقة بينهما.

تمهيد: ماذا نعني بالأوتار المتقاطعة ؟

وما العلاقة بين هذه الأوتار ؟؟

نظرية
:

إذا تقاطع وتران
داخل دائرة ، فإن مساحة المستطيل الذي بعداه جزءا الوتر الأول ، تساوي مساحة
المستطيل الذي بعداه جزءا الوتر الثاني.

المعطيات : دائرة مركزها م ، أ ب ، جـ د وتران يتقاطعان داخل الدائرة في نقطة
هـ.

$الدائرة... Fig.17$

المطلوب : إثبات أن مساحة المستطيل المكون من جزأي أ ب يساوي مساحة المستطيل
المكون من جزأي جـ د
، وهذا يكافئ العبارة التالية :

المطلوب اثبات أن

أ
هـ × هـ ب = جـ هـ × هـ د
.

العمل :

نصل أ جـ ، ب د .

البرهان : المثلثان أ جـ هـ ، د ب هـ فيهما :

) .

$الدائرة... Seven$

ب
د هـ ( محيطيتان مرسومتان على القوس

$الدائرة... Arc$

جـ أ هـ =

$الدائرة... Arc$

) .

$الدائرة... Eight$

ب
د هـ ( محيطيتان مرسومتان على القوس

$الدائرة... Arc$

جـ أ هـ =

$الدائرة... Arc$

إذن المثلثان متشابهان.

وهو
المطلوب .

مثالان
محلولان على نظرية الأوتار المتقاطعة

1. أ ب ، جـ د وتران متقاطعان داخل دائرة في ( هـ ) فإذا كان أ هـ = 6 سم , هـ
ب = 4 سم ، جـ هـ = 3 سم ، أ د = 10 سم .

$الدائرة... Fig.18$

احسب طول هـ د ، ب جـ

الحل : لحساب هـ د تعلم حسب النظرية أنّ :

أ
هـ × هـ ب = جـ هـ × هـ د

6 × 4 = 3 × هـ د

= 8 سم.

24

3

24 = 3
هـ د
Ü

هـ د =

ولحساب
ب جـ نستخدم تشابه المثلثات :

المثلث أ هـ د يتشابه مع
المثلث ج هـ ب.

أ د

جـ ب

=

د هـ

هـ ب

=

أ هـ

جـ هـ

10

جـ ب

=

8

4

=

6

3

= 5 سم

10

2

2 جـ ب = 10

Ü
جـ ب =

Ü

10

جـ ب

=

2

1

2. أ ب قطر في دائرة مركزها ( م ) ، ( جـ هـ ) وتر فيها عمودي على القطر في
النقطة ( د) برهن أن
( جـ د )² = أ د × د ب

$الدائرة... Fig.19$

الحل :

المعطيات :

دائرة مركزها (م) .

أ
ب قطر في الدائرة ، جـ هـ وتر فيها متقاطعان ومتعامدان في د .

المطلوب :
إثبات أن ( جـ د )² = أ د × د ب

البرهان :
بما أن القطر عمود على الوتر فإن القطر ينصف الوتر ... (نظرية).

هـ د

=

جـ د

والآن لدينا الوتران أ ب ( القطر ) ، جـ
هـ متقاطعان في د.

إذن:

هـ د

×

جـ د

=

د ب

×

أ د

جـ د

×

جـ د

=

د ب

×

أ د

بالبرهان السابق

هـ د

=

جـ د

........ وهو المطلوب

د ب

×

أ د

)²=

جـ د

إذن

http://www.schoolarabia.net/math/general_math/level2/circle_final/p06.htm

:sleep: :sleep: :sleep: :sleep: :sleep:

de rien mon frèro

MERCIIIIIIII

pas de quoi merieme

:kl: :kl: :kl:

merciiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

MErci