7 - Le PGCD

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PGCD

Le PGCD de deux nombres,c'est le Plus Grand Commun Diviseur aux deux nombres. Le PGCD de 42 et49 est 7 car c'est le plus grand nombre qui divise à la fois 42 et 49en donnant pour résultat des nombres entiers. Le PGCD de 43 et 49 est 1car il n'existe pas de nombre plus grand que 1 qui divise à la fois 43et 49. Deux nombres dont le PGCD vaut 1 sont dits premiers entre eux.

Calcul du PGCD

L'algorithme d'Euclide permet de calculer le PGCD de deux nombres.Méthode : on exprime d'abord le plus grand nombre avec un multiple duplus petit et un reste. Puis on exprime le plus petit en fonction dureste et d'un nouveau reste. On continue ce procédé jusqu'à ce que l'onarrive à reste nul. Le dernier reste non nul est alors le PGCD des deuxnombres du départ.
Exemple : Calcul du PGCD de 556 et 148 :
Le PGCD de 556 et 148 vaut donc 4.




Simplification de fraction

Le calcul du PGCD peut servir pour rendre une fraction irréductible.Pour cela, il faut calculer le PGCD du numérateur et du dénominateurpuis diviser le haut et le bas de la fraction par le PGCD obtenu. Parexemple pour simplifier la fraction on calcule le PGCD de 312 et 845 puis on divise le haut le bas de la fraction par ce PGCD.


Donc on divise le numérateur et le dénominateur par 13, ce qui donne . Problème d'application du PGCD

Le calcul du PGCD peut servir pour résoudre certains problèmes. Par exemple si un commercant recoit 90 lampes de poches avec 135 ampoules et qu'il veut vendre des lots identiques sans qu'il ne lui reste d'ampoule ni de lampe, on peut se demander combien il devra utiliser d'ampoules et de lampes dans chaque lot. Le nombre de lots doit être un diviseur de 90 et également un diviseur de 135 car sinon il lui restera soit des lampes ou soit des ampoules. Pour obtenir le maximum de lots, il doit diviser 90 et 135 par le plus grand nombre possible. Il doit donc chercher le PGCD de 90 et de 135. Avec l'algorithme d'Euclide on trouve 45. Il doit donc élaborer 45 lots. Chaque lot comprendra 2 lampes et 3 ampoules.

Exercices



Pour résoudre ces exercices tu auras besoin d'une feuille, d'un crayon et d'une calculatrice.

Exercices 1 à 3 : Compréhension du cours (moyen)
Exercices 4 à 7 : Algorithme d'Euclide, nombres premiers entre eux (moyen)
Exercices 8 à 10 : Problèmes (difficile)

Bonne chance !