المضاعفات والقواسم..المضاعفات والقواسم

المضاعفات والقواسم..المضاعفات والقواسم.
المفضل الفاسي
0200/20/02
N* 0. الع لاقة :....يقسم.....في
.N - قا بلية القسمة في
.N - خ اصيات العلاقة : ...يقسم...في
0. مجم وعة قواسم عدد.
- تع ريف.
- مج موعة القواسم المشتركة لعددين ) التشجير(.
3. القا سم المشترك الأكبر.
- تع ريف.
- خ اصيات.
- خ وارزمية اقليدس.
- ال قاسم المشترك الأكبر لعدة أعداد.
4. الم ضاعف المشترك الأصغر.
- مج موعة المضاعفات غير المنعدمة لعدد صحيح طبيعي.
- تع ريف.
- خ اصيات.
- ا لأعداد الأولية فيما بينها.
- تع ريف.
- خ اصيات.
Gauss - م برهنة
- الم ضاعف المشترك الأصغر لعدة أعداد.
2
N. 1. الع لاقة : ........يقسم......في
.N قابلي ة القسمة في
(a,b) . N تعري ف : 2 .
وبعبارة أخرى : ، a = kb بحيث k إذا وجد عدد حقيقي b . a ونكتب a يقسم b نقول أن
.(a,b) . N2 : b . a . .k.N : a = kb
. ) N. خا صيات العلاقة ) ......يقسم...... في
. ) . ( بالرمز ) N. نرمز للعلاقة ) ...يقسم...في
انعكاسية. . - ال علاقة
a . a إذن a = 1 . a لدينا N من a لكل
تخالفية . . - ال علاقة
(k1,k إذن يوجد زوج من عددين طبيعيين ( 2 ، a . b ; b . a : عددين طبيعيين بحيث b ; a ليكن
b(1-k1k2) = أي 0 b = k1k2b ومنه فإن b = k2a ; a = k1b بحيث
. a = b وبالتالي a = فإن 0 b = - إذا كان 0
a = b وبالتالي k1 = k2 = ومنه 1 k1k2 = فإن 1 b . - إذا كان 0
. a = b فإن ] a . b و b . a [ نستنتج إذن أنه إذا كان
متعدية . . - ال علاقة
.(a,b,c) . N3
b . a
و . b . c
a . c
لكنها ليست علاقة ترتيب كلي لوجود عددين طبيعيين على الأقل لا يحققان ، N علاقة ترتيب في . العلاقة
العلاقة المميزة للترتيب الكلي، وكمثال لذلك نجد مثلا بالنسبة للعددين الطبيعيين 5 و 3 أن 5 لا يقسم 3 و
.. 3 لا يقسم 5 ، نقول أن العددين 5 و 3 غير مرتبين بالعلاقة
3
خا صيات أخرى.
إذا كان فإن
a . a . a
a . b-a a . b
a . bc c . N ; a . b
a . c a . b et b . c
a = b a . b et b . a
a . b + c et a . b-c a . b et a . c
aa’ . bb’ a . b et a’ . b’
ma . mb m . 0 et a . b
a = 1 a . 1
a = 0 a . 0
a = b a . b et b . a
2. مج موعة قواسم عدد.
تسمى مجموعة n عدد طبيعي غير منعدم ، مجموعة الأعداد الطبيعية التي تقسم العدد n : تعري ف .
. Dn ونرمز لها بالرمز ، n قواسم العدد
Dn = { p . N / p . n }
مبره نات. .
- م برهنة 0 : مجموعة قواسم عدد طبيعي غير منعدم مجموعة منتهية.
a . b فإن b . و 0 a . b - م برهنة 0 : إذا كان
1 . d . a فإن a يقسم عددا طبيعيا غير منعدم d - م برهنة 3 : إذا كان عدد طبيعي
البح ث عن مجموعة قواسم عدد طبيعي ) استعمال الشجرة( .
؟ أكتب قواسم العدد 02
لتحديد مجموعة قواسم العدد 02 ، يمكن تتبع المراحل التالية.
02 = 2² × 3 × - نف كك العدد 02 إلى جذاء عوامل أولية : 5
- نر سم الشجرة كما في الشكل أسفله :
. - ك ل مسار من المسارات الناتجة عن فروع الشجرة يحدد قاسما للعدد 02
. - مج موع المسارات يحدد مجموعة قواسم العدد 02