النسب المثلثية

الأهداف :

عزيزي الطالب يتوقع منك بعد دراسة هذا الدرس أن تكون قادراً على ايجاد وحساب النسب المثلثية الستة والتعرف على العلاقات بينها.

تمهيد:

ماهي النسب المثلثية ؟ ولماذا أطلق عليهاهذا الاسم؟

$النسب المثلثية 1$

نعلم ان النسبة في أبسط صورها هي مقارنة بين مقدارين مثلاً النسبة بين طول مستطيل وعرضه =

تعني إذا كان طول المستطيل = 3 سم فإن عرضه = ......... . وفي المثلث أ ب جـ القائم الزاوية في ب

وهناك أربع نسب أخرى بين أطوال أضلاع هذا المثلث

$النسب المثلثية 2$

يمكن أن تجد النسب التالية :

( يمكنك أن تجدها بنفسك إن أردت).

$النسب المثلثية 3$

سميت هذه النسب باسم النسب المثلثية لأنها تقارن بين أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية بالتحديد، ولكن هذه النسب ترتبط أيضا بزوايا المثلث ولهذا أعطاها علماء الرياضيات أسماءً مربوطة بزوايا المثلث كما سنتعرف تالياً.

$النسب المثلثية Title_1$

1-

ارسم مثلثاً قائم الزاوية إحدى زواياه الحادة = 50 ْ.

كم مثلثاً يمكنك أن ترسم بحيث يحقق هذين الشرطين ؟

ارسم ثلاث مثلثات مختلفة تحقق هذين الشرطين ( كما في الشكل).

جـ = 50 ْ وطول الوتر أ جـ = 2 سم.

$النسب المثلثية 4$

ليكن المثلث الأول أ ب جـ قائم الزاوية في ب ، و

ع =50 ْ و طول الوتر س ع =4 سم.

$النسب المثلثية 4$

وليكن المثلث الثاني س ص ع قائم الزاوية في ص ، و

ﻫ = 50 ْ و طول الوتر و ﻫ = 5 سم .

$النسب المثلثية 4$

وليكن المثلث الثالث و ل ﻫ قائم الزاوية في ل ، و

$النسب المثلثية 5$

قس طول الضلع أ ب ( المقابل للزاوية 50 ْ ) في المثلث أ ب ﺠ .اعمل جهدك أن تكون دقيقاً في قياساتك.

مقرباً لمنزلتين عشريتين.

$النسب المثلثية 6$

جد النسبة

$النسب المثلثية 8$

والنسبة

$النسب المثلثية 7$

كرر الأمر ذاته على المثلث س ص ع، والمثلث و ل ﻫ وجد النسبة

إذا كان عملك دقيقاً فستجد أن

$النسب المثلثية 9$

بالطبع لن تكون النسب متساوية تماماً بل ستكون بينها فروق ولكن هذه الفروق ستكون طفيفة .

$النسب المثلثية 10$

$النسب المثلثية 11$

وكذلك الحالة مع النسبة

فهي ........... .

$النسب المثلثية 12$

والامر ذاته مع النسبة

لقد لاحظت أنه على الرغم من اختلاف المثلثات الثلاث في أطوال أضلاعها فإن نسبة طول الضلع المقابل للزاوية50 ْ مقارنة بالوتر = مقداراً ثابتاً . ينطبق الأمر ذاته على الزوايا الأخرى .

$النسب المثلثية 13$

جرب في نفس المثلثات إيجاد النسب

ستجدها متقاربة جداً وهي تمثل النسب الخاصة بالزاوية 40 ْ ( كيف عرفنا ؟) .
ولو رسمت مثلثات قائمة الزاوية أخرى بزوايا مختلفة ستجد دائماً

= مقداراً ثابتاً للزاوية المعنية .

$النسب المثلثية 14$

أن نسبة

اتفق علماء الرياضيات منذ قرون على تسمية النسبة الناتجة عن حاصل قسمة :

).

$النسب المثلثية Jeb$

(

باسم جيب الزاوية ويرمز لها بالرمز (جا) أو

$النسب المثلثية 15$

إذن جيب الزاوية هو عبارة عن نسبة بين طول الضلع المقابل لها إلى طول الوتر في نفس المثلث القائم الزاوية التي تكون هي إحدى زواياه ولهذا سميت نسبة مثلثية.

» النسبة أو النسب
» خطاطة مبسطة للنسب المثلثية في المثلث القائم