Optimisation (mathématiques)

Optimisation (mathématiques)

L'optimisation est une branche des mathématiques, cherchant à analyser et à résoudre analytiquement ou numériquement les problèmes qui consistent à déterminer le meilleur élément d'un ensemble, au sens d'un critère quantitatif donné. Ce mot vient du latin optimum qui signifie le meilleur.
L’optimisation joue un rôle important en recherche opérationnelle (donc en économie et microéconomie), dans les mathématiques appliquées (fondamentales pour l'industrie et l'ingénierie), en analyse et en analyse numérique, en statistique pour l’estimation du maximum de vraisemblance d’une distribution, pour la recherche de stratégies dans le cadre de la théorie des jeux, ou encore en théorie du contrôle et de la commande.
Aujourd'hui, tous les systèmes susceptibles d’être décrits par un modèle mathématique sont optimisés. La qualité des résultats et des prédictions dépend de la pertinence du modèle, de l’efficacité de l’algorithme et des moyens pour le traitement numérique.
Domaines d’application
Ils sont extrêmement variés : optimisation d’un trajet, de la forme d’un objet, d’un prix de vente, d’une réaction chimique, du contrôle aérien, du rendement d’un appareil, du fonctionnement d'un moteur, de la gestion des lignes ferroviaires, du choix des investissements économiques, de la construction d’un navire, etc. L’optimisation de ces systèmes permet de trouver une configuration idéale, d’obtenir un gain d’effort, de temps, d’argent, d’énergie, de matière première, ou encore de satisfaction.
Très loin de constituer une liste exhaustive, ces quelques exemples attestent de la variété des formulations et préfigure la diversité des outils mathématiques susceptibles de résoudre ces problèmes.
Quelques classes de problèmes
 L'optimisation linéaire étudie le cas où la fonction objectif et les contraintes caractérisant l’ensemble sont linéaires. C’est une méthode très employée pour établir les programmes des raffineries pétrolières, mais aussi pour déterminer la composition la plus rentable d’un mélange salé, sous contraintes, à partir des prix de marché du moment.
 L'optimisation linéaire en nombres entiers étudie les problèmes d'optimisation linéaire dans lesquels certaines ou toutes les variables sont contraintes de prendre des valeurs entières. Ces problèmes peuvent être résolus par différentes méthodes : séparation et évaluation,méthode des plans sécants.
 L'optimisation quadratique étudie le cas où la fonction objectif est une forme quadratique (avec contraintes linéaires pour )
 L'optimisation non linéaire étudie le cas général dans lequel l’objectif ou les contraintes (ou les deux) contiennent des parties non linéaires, éventuellement non-convexes.
 L'optimisation stochastique (en) étudie le cas dans lequel certaines des contraintes dépendent de variables aléatoires. En optimisation robuste, les aléas sont supposés être situés dans des intervalles autour de positions nominales et on cherche à optimiser le système soumis à de tels aléas, dans le pire des cas.
 La programmation dynamique utilise la propriété qu’une solution optimale se compose nécessairement de sous-solutions optimales (attention : le contraire n'est pas vrai en général) pour décomposer le problème en évitant l’explosion combinatoire. Elle est utilisable lorsque la fonction objectif est une somme de fonctions monotones croissantes dont les arguments sont des inconnues distinctes. C’est la programmation dynamique qui permet par exemple
 aux avionneurs de trouver les plans de décollage optimaux de leurs engins,
 aux ingénieurs de bassin de répartir la production minière entre leurs différents puits,
 aux producteurs d’électricité de planifier la marche des usines hydroélectriques,
 aux media planners de répartir efficacement un budget de publicité entre différents supports.

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Merccc Bq MEHDI pour le passage aussi pour ce commentaire