11. Les vecteurs

Cours

Vecteurs :

Un vecteur, c'est ça :
C'est une flèche. On peut dessiner un vecteur si on connait sa longueur, sa direction et son sens (le sens de la flèche).On peut lui donner un nom, le vecteur ci dessus appelons le vecteur .Il est inutile de savoir d'où il part. Par exemple, les vecteurs :

sont tous égaux. L'image B d'un point A par la translation de vecteur , c'est le point qui se trouve au bout du vecteurlorsque l'on met l'origine du vecteur au point A.

Un vecteur, c'est un peu une flèche qui indique un déplacement. Si on va en haut puis que l'on va à droite, au total on a fait un trajet oblique. Pour additionner deux vecteurs, on les met l'un au bout de l'autre, la somme des deux vecteursest alors le vecteur qui part de l'origine du premier et qui arrive au bout du deuxième.
On peut multiplier un vecteur par un nombre. Si on multiplie un vecteur par 3 on obtient un vecteur 3 fois plus long :
Si on multiplie un vecteur par un nombre négatif, celui ci change de sens, par exemple si on multiplie par -2 :
On peut aussi multiplier deux vecteurs entre eux mais pour comprendre cela il faut être en classe de 1ère S. C'est le produit scalaire.

Enfin, tu es d'accord que 8 - 5 = 8 + (-5). Pour soustraire deux vecteurs, on additionne le premier avec l'opposé dudeuxième, c'est à dire le deuxième que l'on a multiplié par (-1).

Coordonnées d'un point :

Avec deux vecteurs "perpendiculaires" de même origine et de mêmelongueur, on peut répérer des points dans un plan à l'aide decoordonnées.
Pour aller de 0 à A, il faut additionner 2 fois le vecteur avec 5 fois le vecteur . On dit que le point A a pour abscisse 2et pour ordonnée 5. On écrit : A(2;5), ce qui se lit "A a pour coordonnées 2, 5". Cette technique permetde repérer avec des nombres la position de tous les points d'un tel dessin qui s'appelle un "repère du plan".

Distance entre 2 points dans un repère :

Si A(2,5) et que B(4,1), on peut calculer la distance de A à B.


En appliquant le théorème de Pythagore, les calculs donnent :
D'une manière générale, pour calculer la distance entre deux points quand on connait leurs coordonnées, si et , alors :


Tu dois bien apprendre cette formule.


Coordonnées du milieu d'un segment :

Sinon, si on te demande de calculer les coordonnées du milieu d'un segment [AB], il faut utiliser les deuxformules qui donnent l'abscisse et l'ordonnée du milieu M du segment. Il faut calculer la moyenne des coordonnéesde A et de B : Coordonnées d'un vecteur :

Les coordonnées d'un vecteur, ce sont des nombres qui disent de combien le vecteur monte et de combien il avance.Pour calculer les coordonnées d'un vecteur, il faut utiliser la formule :