نظرية فيثاغورس

[postbg=http://im52.gulfup.com/16ERE.png] c تساوي a²+b²، أي a²+b²=c².

توجد طرق عديدة أخرى لإثبات مبرهنة فيثاغورس، حتى الرئيس الأمريكي الواحد والعشرون جيمس جارفيلد (بالإنكليزية: James Garfield) برهن، بطريقة قريبة من الطريقة السابقة، على مبرهنة فيثاغورس.

أشكال أخرى للمبرهنة

استلزامها المضاد للعكس[عدل]

نص الاستلزام المضاد للعكس:

« إذا كانت أطوال أضلاع مثلث ABC تحقق $نظرية فيثاغورس 0b965e748c1dd28be59dfbdf09151200$ فإن المثلث ABC ليس قائما في النقطة A. »

رغم أن الاستلزام المضاد للعكس يكافئ منطقيا المبرهنة المباشرة، إلا أن استعماليهما مختلفان: فمبرهنة فيثاغورس المباشرة تستعمل لحساب طول ضلع مثلث قائم الزاوية بدلالة طولي الضلعين الآخرين، في حين أن استلزامها المضاد للعكس يستعمل لإثبات كون مثلث (قياسات أضلاعه معلومة) ليس قائم الزاوية.

الاستلزام المضاد للعكس للخاصية العكسية[عدل]

يقول ما يلي: « إذا كان المثلث ABC ليس قائم الزاوية في A فإن $نظرية فيثاغورس 0b965e748c1dd28be59dfbdf09151200$ »

تعميم على أشكال هندسية أخرى غير المربعات[عدل]

مبرهنة الهلالين

عمم إقليدس مبرهنة فيثاغورس في كتابه العناصر (العبارة 31، الجزء VI من كتاب العناصر):

« في المثلثات القائمة الزاوية، مساحة شكل مرسوم على الوتر، يساوي مجموع مساحتي الشكلين المشابهين له المرسومين على ضلعي الزاوية القائمة. »

بتعبير آخر: « إذا أنشأنا أشكالا متشابهة على أضلاع مثلث قائم الزاوية، فإن مساحتي الشكلين الصغيرين تساوي مساحة الشكل الكبير. »

هذه الخاصية تسمح لنا بالبرهنة على أن مساحة مثلث تساوي مجموع مساحتي الهلالين المرسومين على ضلعي الزاوية القائمة: مبرهنة الهلالين.

استعمالاتها[عدل]

تسمح مبرهنة فيثاغورس بحساب المسافة بين نقطتين في معلم متعامد بدلالة إحداثياتهما الديكارتية، إذا كانت $نظرية فيثاغورس B9643860104fe9dd474c4c92b8326055$ و $نظرية فيثاغورس 7344c012b685b3b3dcc65a8d78f6765a$ نقطتان من المستوي الإقليدي، فإن المسافة بينهما هي:

$نظرية فيثاغورس 3ab259f1b6dcf5bf6a610a47a49ed3fc$

إذا كانت $نظرية فيثاغورس Acb6cc48cc234e54bf8af2f69b6b84e9$ إحداثيتا نقطة C في نفس المعلم، فإن المثلث ACB قائم الزاوية في C. المسافتان CA و CB معلومتان:

$نظرية فيثاغورس A1cc8070954f0948777cc5ea960cf800$

$نظرية فيثاغورس 73f1142fe52bbc948b0984fa3e4dd6fd$

بينما تمثل المسافة AB طول وتر المثلث ACB.

بشكل عام، في فضاء إقليدي (أو فضاء تآلفي إقليدي)، المسافة من $نظرية فيثاغورس 745fe912960b0cd3c8f5d911e143a37b$ إلى $نظرية فيثاغورس B5bad4963ad68a5e27c42255095e51fd$ تساوي:

$نظرية فيثاغورس 277c6d0d4580b2d596eecd6eed9cc8cc$

يمكن أن نعتبر مبرهنة Parseval تعميما لمبرهنة فيثاغورس في فضاء الجداء الداخلي.

تعمم مبرهنة فيثاغورس على التبسيطات ذات الأبعاد الكبيرة. إذا كان لرباعي أوجه ركن قائم (ركن من مكعب)، فإن مربع مساحة الوجه المقابل للركن، يساوي مجموع مربعات مساحات الأوجه الثلاثة الأخرى. تعرف هذه المبرهنة أيضا باسم مبرهنة Gua.